Definición de variable aleatoria bidimensional continua.

Recordemos que una v.a. bidimensional continua cuando su conjunto de valores en \(\mathbb{R}^2\), \((X,Y)(\Omega)\) es un producto de intervalos.

Definición función de distribución conjunta

La función de distribución acumulada conjunto o simplemente distribución conjunta se define como

\[F_{XY}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y).\]

Definición función de densidad conjunta

Sea \(f_{XY}: \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mapsto [0,+\infty)\) diremos que es una densidad bidimensional del vector aleatorio bidimensional \((X,Y)\) si

\[F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f_{XY}(t_x,t_y) dt_xdt_y.\]

Llamaremos dominio de la variable conjunta a \[D_{XY}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | f_{XY}(x,y)>0\}.\]

Es decir es el conjunto de valores posibles que toma la v.a. \((X,Y)\).

## Gráfica

library(tidyverse)

## -- Attaching packages --------------------------------------- tidyverse 1.3.0 --

## v ggplot2 3.3.2     v purrr   0.3.4
## v tibble  3.0.4     v dplyr   1.0.2
## v tidyr   1.1.2     v stringr 1.4.0
## v readr   1.4.0     v forcats 0.5.0

## -- Conflicts ------------------------------------------ tidyverse_conflicts() --
## x dplyr::filter() masks stats::filter()
## x dplyr::lag()    masks stats::lag()

library(plotly)

## 
## Attaching package: 'plotly'

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter

## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout

f = nbvpdf (0, 0, 1, 1, 0.5)
seq=seq(-4,4,0.01)
n=length(seq)
x=rep(seq(-4,4,0.01),times=n)
y=rep(seq(-4,4,0.01),each=n)
z=matrix(f(x,y),ncol=n)
df_list=list(x=seq,y=seq,z=z)
# volcano is a numeric matrix that ships with R
fig <- plot_ly(x=df_list$x,y=df_list$y,z=df_list$z) %>% add_surface(
  contours = list(
    z = list(
      show=TRUE,
      usecolormap=TRUE,
      highlightcolor="#ff0000",
      project=list(z=TRUE)
      )
    )
  )
fig <- fig %>% layout(
    scene = list(
      camera=list(
        eye = list(x=1.87, y=0.88, z=-0.64)
        )
      )
  )

fig

Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional continua con dominio \(D_{XY}\subset \mathbb{R}^2\).

Su función de densidad conjunta verifica las siguientes propiedades:

• \[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y)\quad dx dy=1.\]

• Sea \(B\) un subconjunto cualquiera del dominio \(D_{XY}\). El valor de la probabilidad \(P((X,Y)\in B)\) se puede calcular de la forma siguiente: \[ P((X,Y)\in B) ={\int\int}_B f_{XY}(x,y)\quad dx dy. \]

Es decir, la probabilidad de que la variable bidimensional tome valores en \(B\) es igual al volumen que genera la densidad conjunta sobre el recinto \(B\).

Consideremos una variable aleatoria bidimensional continua \((X,Y)\) con función de densidad conjunta \(f_{XY}(x,y)\) y con dominio \(D_{XY}\).

La de la función de densidad conjunta contiene suficiente información para obtener las funciones de densidad de las variables \(X\) e \(Y\).

Dichas variables \(X\) e \(Y\) se denominan variables marginales y sus correspondientes funciones de densidad, funciones de densidad marginales \(f_X\) de la variable \(X\) y \(f_Y\) de la variable \(Y\).

Veamos cómo obtener \(f_X\) y \(f_Y\) a partir de la tabla \(f_{XY}\).

Proposición. Cálculo de las funciones de densidad marginales.

Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional continua con función de densidad conjunta \(f_{XY}(x,y)\), con \((x,y)\in D_{XY}\).

Las funciones de densidad marginales \(f_X(x)\) y \(f_Y(y)\) se calculan usando las expresiones siguientes:

• \(f_X(x)= \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y)\quad dy.\)

• \(f_Y(y)= \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y)\quad dx.\)

Recordemos que dos sucesos \(A\) y \(B\) son independientes si

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).\]

¿Cómo trasladar dicho concepto al caso de variables aleatorias continuas?

Dada una variable aleatoria bidimensional continua \((X,Y)\) con dominio \(D_{XY}\)

Así que al menos todos los sucesos de la forma \(P\left(X\leq x ,\ Y\leq y\right)\) deberán ser independientes.

Esto implicará que cualesquiera dos sucesos de cada variables con independientes.

Condiciones para independencia de variables aleatorias bidimensionales continuas

Dada \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional continua con función de densidad \(f_{XY}\) y funciones de probabilidad marginales \(f_X\) y \(f_Y\).

Diremos que \(X\) e \(Y\) son independientes si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

• \(f_{XY}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\) para todo \((x,y)\in D_{XY}\)

• \(F_{XY}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\) para todo \((x,y)\in D_{XY}\)

• \(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_X(x)\quad dx.\)
• \(E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} y\cdot f_Y(y)\quad dy.\)
• \(\sigma_X^2=Var(X)=E(X-E(X))=E(X)-E(X)^2.\)
• \(\sigma_Y^2=Var(Y)=E(Y-E(Y))=E(Y)-E(Y)^2.\)

• Dado un valor fijo \(y\in D_Y\) definimos la distribución condicional de la v.a. \(X\) condicionada a que \(Y=y\) como

\[f_{X|Y=y}(x)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)},\mbox{ para todo } x\in D_X.\]

• Dado un valor fijo \(y\in D_Y\) definimos la distribución condicional de la v.a. \(Y\) condicionada a que \(X=x\) como

\[f_{Y|X=x}(y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x)},\mbox{ para todo } Y\in D_Y.\]

Propiedad

Si las variables \(X\) e \(Y\) son independientes se cumple que

• \(f_{X|Y=y}(x)=f_X(x)\)
• \(f_{Y|X=x}(y)=f_Y(y)\)

\[E(X|Y=y)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_{X|Y=y}(x) \quad dx.\]

\[E(Y|X=x)=\int_{-\infty}^{+\infty} y\cdot f_{Y|X=x}(y) \quad dy.\]

Propiedad

Si las variables \(X\) e \(Y\) son independientes se cumple que

1. \(E(X|Y=y)=E(X)\)
2. \(E(Y|X=x)=E(Y)\)

Definición:

Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional continua y \(g(X,Y): \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}\) una función de esa variable bidimensional entonces

\[E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y) \cdot f_{XY}(x,y) \quad dx dy.\]

Propiedad: En particular:

\[ E(X+Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} (x+y)\cdot f_{XY}(x,y) \quad dx dy=\mu_X+\mu_Y. \]

\[ \begin{eqnarray*} Var(X+Y)&&\\ &=&E\left(\left(X+Y-E(X+Y)\right)^2\right)\\ &=& \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y-(\mu_X+\mu_Y))^2\cdot f_{XY}(x,y) \quad dx dy. \end{eqnarray*} \]

Propiedad: Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional entonces se cumple que:

• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\mu_X+ \mu_Y\).
• Si \(X\) e \(Y\) son independientes entonces \(E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)=\mu_X\cdot \mu_Y\).
• Si \(X\) e \(Y\) son independientes entonces \(Var(X+Y)=Var(X)+ Var(Y)=\sigma_X^2+ \sigma_y^2\).

Se denomina covarianza entre las variables \(X\) e \(Y\): \[ \sigma_{XY}=Cov(X,Y)=E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)). \] La covarianza puede calcularse también con: \[ Cov(X,Y)=E(X\cdot Y)-E(X)\cdot E(Y)=E(X\cdot Y)-\mu_X\cdot \mu_Y, \]

Propiedad. Si las variables \(X\) e \(Y\) son independientes, entonces \(Cov(X,Y)=0\).

Es una consecuencia de que si \(X\) e \(Y\) son independientes entonces que vimos que \(E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y) =\mu_X\cdot \mu_Y\).

La covarianza es una medida de lo relacionadas están las variables \(X\) e \(Y\):

• Si cuando \(X\geq \mu_X\), también ocurre que \(Y\geq \mu_Y\) o viceversa, cuando \(X\leq \mu_X\), también ocurre que \(Y\leq \mu_Y\), el valor \((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\) será positivo y la covarianza será positiva.

• Si por el contrario, cuando \(X\geq \mu_X\), también ocurre que \(Y\leq \mu_Y\) o viceversa, cuando \(X\leq \mu_X\), también ocurre que \(Y\geq \mu_Y\), el valor \((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\) será negativo y la covarianza será negativa.

• En cambio, si a veces ocurre una cosa y a veces ocurre otra, la covarianza va cambiando de signo y puede tener un valor cercano a 0.

• Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional. Entonces la varianza de la suma/resta se calcula usando la expresión siguiente: \[ Var(X\pm Y)=Var(X)+Var(Y)\pm 2\cdot Cov(X,Y). \]

• Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional donde las variables \(X\) e \(Y\) son independientes. Entonces: \[ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). \]

Definición del coeficiente de correlación. Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional. Se define el coeficiente de correlación entre las variables \(X\) e \(Y\) como: \[ \rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\cdot\sqrt{Var(Y)}}=\frac{E(X\cdot Y)-\mu_X\cdot \mu_Y}{\sqrt{E\left(X^2\right)-\mu_X^2}\cdot \sqrt{E\left(Y^2\right)-\mu_Y^2}}. \]

Observación: Si las variables \(X\) e \(Y\) son independientes, su coeficiente de correlación \(\rho_{XY}=0\) es nulo ya que su covarianza lo es.

Notemos también que la correlación no tiene unidades y es invariante a cambios de escala.

Además, la covarianza de las variables tipificadas \(\frac{X-\mu_X}{\sigma_X}\) y \(\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}\) coincide con la correlación de \(X\) e \(Y\).

El coeficiente de correlación es un valor normalizado ya que siempre está entre -1 y 1: \(-1\leq\rho_{XY}\leq 1\).

Observación. Si las variables \(X\) e \(Y\) tiene dependencia lineal, por ejemplo si \(Y=a\cdot X+b\) para algunas constantes \(a,b\in\mathbb{R}\), entonces su coeficiente de correlación \(\rho_{XY}=\pm 1\), es decir toma el valor \(1\) si la pendiente \(a>0\) y \(-1\) si \(a<0\).

De forma similar:

• si \(Cor(X,Y)=+1\) \(X\) e \(Y\) tienen relación lineal con pendiente positiva.
• si \(Cor(X,Y)=-1\) \(X\) e \(Y\) tienen relación lineal con pendiente negativa.

Sea \((X,Y)\) una variable bidimensional Notemos que

• \(Cov(X,X)=\sigma_{X X}=\sigma_{X}^2.\)
• \(Cov(Y,Y)=\sigma_{Y Y}=\sigma_{Y}^2.\)
• \(\sigma_{X Y}= Cov(X,Y)=Cov(Y,X)= \sigma_{Y X}.\)

Se denomina matriz de varianzas-covarianzas y se suele denotar como \(\Sigma\) a

\[ \Sigma= \left( \begin{matrix} Cov(X,X) & Cov(X,Y)\\ Cov(Y,X) & Cov(Y,Y) \end{matrix} \right)= \pmatrix{\sigma_{XX} & \sigma_{XY}\\ \sigma_{YX} & \sigma_{YY}}= \pmatrix{\sigma_{X}^2 & \sigma_{XY}\\ \sigma_{Y X} & \sigma_{Y}^2} \]

Sea \((X,Y)\) una variable bidimensional Notemos que

• \(Cor(X,X)=\rho_{X X}=1.\)
• \(Cor(Y,Y)=\rho_{Y Y}=1.\)
• \(\rho_{X Y}= Cor(X,Y)=Cor(Y,X)= \rho_{Y X}.\)

Se denomina matriz de correlaciones a

\[ R= \left( \begin{matrix}Cor(X,X) & Cor(X,Y)\\ Cor(Y,X) & Cor(Y,Y) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & \rho_{XY}\\ \rho_{Y X} & 1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1 & \rho_{XY}\\ \rho_{X Y} & 1 \end{matrix} \right). \]

Sea \((X,Y)\) una variable continua bidimensional con \(E(X)=\mu_X\), \(E(Y)=\mu_X\)

\(\sigma^2_X=Var(X)\), \(\sigma^2_Y=Var(Y)\), \(\sigma_{XY}=Cov(X,Y)\).

Y si denotamos por

\[ \mathbf{\mu}=\left(\begin{array}{c}\mu_X \\ \mu_Y\end{array}\right) \]

y por

\[ \Sigma=\left(\begin{matrix} \sigma_{X}^2 & \sigma_{XY}\\ \sigma_{XY} & \sigma_{Y}^2 \end{matrix}\right). \]

Diremos que el vector \(\left(\begin{array}{c} X \\ Y\end{array}\right)\) sigue una ley normal o gaussiana bidimensional \(N(\mathbb{b},\sigma)\) si su densidad es

\[ f_{XY}=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2\cdot \mathrm{det}(\Sigma)}} \cdot e^{-\frac{1}{2} ((x,y)-\mathbf{\mu})^t\cdot \Sigma^{-1}\cdot ((x,y)-\mathbf{\mu})^t}. \]

Consideremos un vector compuesto de \(n\) variables aleatorias continuas \((X_1,X_2,\ldots,X_n)\)

Su función de densidad de probabilidad es una función \(f_{X_1,X_2,\ldots, X_n}:\mathbb{R}^n\mapsto [0,+\infty)\) tal que

\[ \begin{eqnarray*} F_{X_1,X_2,\ldots, X_n}(x_1,x_2,&\ldots&,x_n)=P(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,\ldots, X_n\leq x_n)\\&=&\int_{-\infty}^{x1}\int_{-\infty}^{x2}\cdots \int_{-\infty}^{xn} f(t_1,t_3,\ldots,t_n)\quad dt_1 dt_2\cdots dt_n. \end{eqnarray*} \]

Definición independencia

Diremos que la variables continuas \(X_1,X_2,\ldots, X_n\) son INDEPENDIENTES cuando \[f_{X_1,X_2,\ldots, X_n}(x_1,x_2,\ldots,x_n) =f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)\cdot \ldots \cdot f_{X_n}(x_n).\]

Propiedad

Las variables \(X_1,X_2,\ldots, X_n\) son INDEPENDIENTES si y solo si \[F_{X_1,X_2,\ldots, X_n}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdot F_{X_2}(x_2)\cdot \ldots \cdot F_{X_n}(x_n).\]

Vector de medias

Si denotamos \(E(X_i)=\mu_i\) para \(i=1,2,\ldots,n\) el vector de medias es \[E(X_1,X_2,\ldots,X_n)=(E(X_1),E(X_2),\ldots,E(X_n))=(\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_n).\]

Covarianza y varianzas

Si denotamos \(\sigma_{ij}=Cov(X_i,X_j)\) para todo \(i,j\) en \(1,2,\ldots n\) entonces tenemos que

• \(\sigma_{ii}=Cov(X_i,X_i )=\sigma_{ii}=\sigma_{i} ^2.\)
• \(\sigma_{ij}=Cov(X_i,X_j )=Cov(X_j,X_i)=\sigma_{ji}.\)

Si denotamos \(\rho_{ij}=Cor(X_i,X_j)\) para todo \(i,j\) en \(1,2,\ldots n\) entonces tenemos que

• \(\rho_{ii}=Cor(X_i,X_i)=1.\)
• \(\rho_{ij}=Cor(X_i,X_j)=Cor(X_j,X_i)=\rho_{ji}.\)

\[\Sigma= \left(\begin{matrix} \sigma_{1}^2 & \sigma_{12} & \ldots & \sigma_{1n}\\ \sigma_{21} & \sigma_{2}^2 & \ldots & \sigma_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \ldots & \sigma_{n}^2 \end{matrix}\right) , \qquad R=\left(\begin{matrix} 1 & \rho_{12} & \ldots & \rho_{1n}\\ \rho_{21} & 1 & \ldots & \rho_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\ \rho_{n1} & \rho_{n2} & \ldots & 1 \end{matrix}\right). \]